ติว A Level คณิตศาสตร์ จำนวนเชิงซ้อน
จำนวนเชิงซ้อน (Complex Numbers) เป็นหัวข้อที่สำคัญในหลักสูตร A Level คณิตศาสตร์ โดยมีความจำเป็นในการศึกษาหลาย ๆ สาขา เช่น แคลคูลัส, สมการเชิงอนุพันธ์, และฟิสิกส์ ความเข้าใจในจำนวนเชิงซ้อนไม่เพียงแต่ช่วยในการแก้ปัญหาเชิงคณิตศาสตร์เท่านั้น แต่ยังสามารถนำไปประยุกต์ใช้ในชีวิตจริงได้อีกด้วย ในบทความนี้เราจะสำรวจเนื้อหาหลักเกี่ยวกับจำนวนเชิงซ้อน รวมถึงสูตร วิธีการคำนวณ และเทคนิคการเตรียมตัวติว A Level คณิตศาสตร์ฉบับเข้าใจง่าย
1. ความหมายและรูปแบบของจำนวนเชิงซ้อน
จำนวนเชิงซ้อนถูกกำหนดให้มีรูปแบบทั่วไปดังนี้:
z=a+biz = a + biz=a+bi
โดยที่:
aaa คือส่วนจริง (Real Part)
bbb คือส่วนจินตภาพ (Imaginary Part)
iii คือหน่วยจินตภาพที่มีสมบัติว่า i2=−1i^2 = -1i2=−1
1.1. ส่วนจริงและส่วนจินตภาพ
ส่วนจริง: เป็นค่าของ aaa ในจำนวนเชิงซ้อน
ส่วนจินตภาพ: เป็นค่าของ bbb ในจำนวนเชิงซ้อน
จำนวนเชิงซ้อนสามารถแสดงเป็นจุดในระนาบเชิงซ้อน (Complex Plane) โดยที่แกน xxx แทนส่วนจริง และแกน yyy แทนส่วนจินตภาพ
2. การดำเนินการกับจำนวนเชิงซ้อน
2.1. การบวกและการลบ
การบวกและการลบจำนวนเชิงซ้อนทำได้โดยการบวกหรือลบส่วนจริงและส่วนจินตภาพแยกกัน:
z1=a+biและz2=c+diz_1 = a + bi \quad \text{และ} \quad z_2 = c + diz1=a+biและz2=c+di
การบวก:
z1+z2=(a+c)+(b+d)iz_1 + z_2 = (a + c) + (b + d)iz1+z2=(a+c)+(b+d)i
การลบ:
z1−z2=(a−c)+(b−d)iz_1 - z_2 = (a - c) + (b - d)iz1−z2=(a−c)+(b−d)i
2.2. การคูณ
การคูณจำนวนเชิงซ้อนทำได้โดยการใช้การแจกแจง:
z1⋅z2=(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi2z_1 \cdot z_2 = (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2z1⋅z2=(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi2
ซึ่ง i2=−1i^2 = -1i2=−1, ดังนั้น:
z1⋅z2=(ac−bd)+(ad+bc)iz_1 \cdot z_2 = (ac - bd) + (ad + bc)iz1⋅z2=(ac−bd)+(ad+bc)i
2.3. การหาร
การหารจำนวนเชิงซ้อนสามารถทำได้โดยการคูณด้วยคอนจูเกต (Conjugate):
z1z2=a+bic+di⋅c−dic−di=(ac+bd)+(bc−ad)ic2+d2\frac{z_1}{z_2} = \frac{a + bi}{c + di} \cdot \frac{c - di}{c - di} = \frac{(ac + bd) + (bc - ad)i}{c^2 + d^2}z2z1=c+dia+bi⋅c−dic−di=c2+d2(ac+bd)+(bc−ad)i
2.4. คอนจูเกต
คอนจูเกตของจำนวนเชิงซ้อน z=a+biz = a + biz=a+bi คือ:
z‾=a−bi\overline{z} = a - biz=a−bi
คอนจูเกตมีคุณสมบัติที่สำคัญ เช่น z⋅z‾=a2+b2z \cdot \overline{z} = a^2 + b^2z⋅z=a2+b2
